\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}


\pagestyle{empty}
\begin{document}


\centerline{\bf \large Летние сборы 2000 г.}
\bigskip

\centerline{\bf Олимпиада \No 1. Команда}
\bigskip

{\bf 1}. Пусть $p>2$ -- простое число. Докажите, что любое простое число $q$ представимо в виде суммы $2^{p-1}+1$ $p$-ых степеней целых чисел.

{\bf 2}. Пусть $a\in \mathbb{R}$; $f_1$, $f_2$, $\dots$, $f_n: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ --- аддитивные функции такие, что \[\forall x\in\mathbb{R} \quad f_1(x)\cdot f_2(x)\cdot\dots\cdot f_n(x)=ax^n,\] где $a\in\mathbb{R}, a \ne 0$.
Докажите, что $f_1(x)=bx$ для некоторого $b\in\mathbb{R}$.

{\bf 3}. Докажите, что существует такое вещественное $\alpha$, что $\forall n\in\mathbb{N}$ и для любых $N$ точек общего положения на плоскости найдется точка, принадлежащая хотя бы $\alpha C_n^3$ треугольникам с вершинами в этих точках.

\bigskip
\centerline{\bf Олимпиада \No 2. Команда}
\bigskip

{\bf 1}. Последовательность целых чисел $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ удовлетворяет
условию $(n-1)a_{n+1}=(n+1)a_n-2(n-1)$ для всех натуральных $n \geqslant 1$.
Известно, что $a_{1999}\vdots2000$.
Найдите наименьшее $n\in\mathbb{N}$ такое, что $a_n\vdots2000$.

{\bf 2}. Точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ симметричны серединам дуг $BC$, $CA$, $AB$ описанной окружности относительно середин соответствующих сторон $\triangle ABC$. 
Докажите, что описанная окружность $\triangle A_1B_1C_1$ проходит через ортоцентр $H$ и точку Нагеля $N$ $\triangle ABC$, причем точки $H$ и $N$ являются диаметрально противоположными на этой окружности.

{\bf 3}. На конференцию приехало $300$ участников, каждый из них знает какие-то $3$ из $5$ официальных языков конференции.
Докажите, что участников можно разделить на $3$ секции по $100$ человек таким образом, чтобы в каждой секции все участники знали один общий язык.

\bigskip

\centerline{\bf Олимпиада \No 3. Команда}
\bigskip

{\bf 1}. Пусть $P(x)\in\mathbb{Z}[x]$ и числа $x_1$, $x_2$, $\dots$, $x_n$ (где $n \geqslant 3$) таковы, что \[\forall x\in\{1,\dots,n-1\} \quad P(x_i)=x_{i+1},\quad P(x_n)=x_i.\]
Докажите, что $x_1=x_3$.

{\bf 2}. Диагональ $AC$ описанного четырехугольника $ABCD$ пересекает описанную окружность в точках $E$ и $F$. Точка $M$ --- середина отрезка $EF$.
Докажите, что $\angle AMB=\angle AMD$.

{\bf 3}. Как расставить числа от $1$ до $n$ (где $n>10$) по кругу так, чтобы сумма всех произведений десяток подряд идущих чисел была максимальна?

\bigskip
\centerline{\bf Олимпиада \No 4. Команда}
\bigskip

{\bf 1}. Непрерывная убывающая функция $f:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+$ удовлетворяет уравнению
$$ \forall x,y\in\mathbb{R}_+ \quad f(x+y)+f(f(x)+f(y))=f(f(x+f(y))+f(y+f(x))).$$
Найдите $f(f(x))$.

{\bf 2}. $M$ --- точка пересечения медиан $\triangle ABC$. Докажите неравенство
$\sin \angle CAM + \sin\angle CBM\leqslant {2\over\sqrt{3}}.$

{\bf 3}. Дана последовательность $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ такая, что $a_1=0$, $a_2=2$, $a_3=3$ и для всех натуральных $n \geqslant 2$ выполняется равенство $a_{n+2}=a_n+a_{n-1}$.
Докажите, что $a_p\vdots p$ для любого простого $p$.



\newpage

\centerline{\bf \large Летние сборы 2000 г.}
\medskip
\centerline{\bf Олимпиада \No 1. Группа А}
\bigskip


{\bf 1}. Докажите, что для любых простых $p,q \:(q>p)$ уравнение \[x^p=q+y\cdot p!\] имеет бесконечно много решений в целых числах.

{\bf 2}. Пусть $\Gamma$ -- полуокружность с центром $O$ и диаметром $AB$.
Точка $M$ лежит на продолжении отрезка $AB$ за  точку $B$.
Секущая, проведенная через $M$, пересекает $\Gamma$ в точках $C$ и $D$ (причем $|MC| > |MD|$).
Описанные окружности $\triangle ACO$ и $\triangle BDO$ вторично пересекаются в точке $K$ ($K$ отлична от $O$).
Докажите, что $\angle OKM=90^\circ$.

{\bf 3}. Пусть $a\in \mathbb{R}$; $f_1,f_2: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ --- аддитивные функции
такие, что \[\forall x\in\mathbb{R} \quad f_1(x)f_2(x)=ax^2,\]
где $a\in\mathbb{R}, a\ne0$.  Докажите, что $f_1(x)=bx$ для некотрого $b\in\mathbb{R}$.

{\bf 4}. Докажите, что существует такое вещественное $\alpha$, что $\forall n\in\mathbb{N}$ и для любых $N$ точек общего положения на плоскости найдется точка, принадлежащая хотя бы $\alpha C_n^3$ треугольникам с вершинами в этих точках.


\bigskip 
\centerline{\bf Олимпиада \No 2. Группа А}
\bigskip


{\bf 1}. Последовательность целых чисел $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ удовлетворяет
условию $(n-1)a_{n+1}=(n+1)a_n-2(n-1)$ для всех натуральных $n\geqslant 1$.
Известно, что $a_{1999}\vdots2000$. Найдите наименьшее $n\in\mathbb{N}$ такое, что
$a_n\vdots2000$.


{\bf 2}. В таблице $m\times n$ расставлены вещественные числа, не превосходящие по
модулю единицы, причем сумма чисел в каждом столбце равна $0$.
Докажите, что можно переставить числа в столбцах таким образом, чтобы
сумма чисел в каждой строке по модулю не превосходила $2$.

{\bf 3}. Через внутреннюю точку $K$ неравностороннего $\triangle A_1A_2A_3$ проведены прямые $Q_2P_3\parallel A_2A_3$, $Q_3P_1\parallel A_3A_1$ и $Q_1P_2\parallel A_1A_2$, причем точки $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$ лежат на сторонах $A_3A_1$, $A_1A_2$, $A_2A_3$ соответственно, а  точки $P_1$, $P_2$, $P_3$ лежат на сторонах $A_1A_2$, $A_2A_3$, $A_1A_3$ соответственно.
Оказалось, что точки $P_1$, $P_2$, $P_3$, $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$ лежат на окружности с центром $O_1$.
Докажите, что точки $K$, $O_1$ и центр описанной окружности $\triangle A_1A_2A_3$ точка $O$ лежат на одной прямой.

{\bf 4}.
На конференцию приехало $300$ участников, каждый из них знает какие-то $3$ из $5$ официальных языков конференции.
Докажите, что участников можно разделить на $3$ секции по $100$ человек таким образом, чтобы в каждой секции все участники знали один общий язык.

\bigskip 

\centerline{\bf Олимпиада \No 3. Группа А}
\bigskip


{\bf 1}. Фигура {\it полуферзь} бьет все клетки, стоящие с ней на одной горизонтали или вертикали, а также в направлении, параллельном одной фиксированной диагонали доски.
Каким наименьшим числом полуферзей можно побить все клетки доски $n\times n$?


{\bf 2}. Докажите, что следующие два условия эквивалентны.

а) $\forall a\in\mathbb{N}\quad a^{n}-a\vdots n$.

б) Для любого простого делителя $p$ числа $n$ \quad $n\not\!\vdots \,p^2$,
но $n-1\vdots p-1$.

{\bf 3}. Диагональ $AC$ описанного четырехугольника $ABCD$ пересекает описаннуюокружность в точках $E$ и $F$. Точка $M$ -- середина отрезка $EF$.
Докажите, что $\angle AMB=\angle AMD$.

{\bf 4}. Как расставить числа от $1$ до $n$ (где $n>10$) по кругу так, чтобы сумма всех произведений десяток подряд идущих чисел была максимальна?

\bigskip
\centerline{\bf Олимпиада \No 4. Группа А}
\bigskip


{\bf 1}. Докажите для любых $a$, $b$, $c\in\mathbb{R}$ неравенство
\[2\sqrt{ab+ac+bc} \leqslant \sqrt{3}\cdot\sqrt[3]{(a+b)(a+c)(b+c)}.\]


{\bf 2}. Точка $M$ -- центр тяжести $\triangle ABC$, точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ -- центр
описанных окружностей $\triangle BMC$, $\triangle AMC$, $\triangle AMB$
соответственно. Докажите, что точка пересечения медиан $\triangle A_1B_1C_1$
является центром описанной окружности $\triangle ABC$.

{\bf 3}. Докажите, что для $\forall n\in\mathbb{N}$ из любого графа можно удалить не более, чем ${1\over n}$ часть всех ребер так, чтобы среди любой $n+1$ вершины оставшегося графа были две не соединенные ребром.

{\bf 4}. Дана последовательность $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ такая, что $a_1=0$, $a_2=2$, $a_3=3$ и для всех натуральных $n\geqslant 2$ выполняется равенство $a_{n+2}=a_n+a_{n-1}$.
Докажите, что $a_p\vdots p$ для любого простого $p$.



\newpage

\centerline{\bf \large Летние сборы 2000 г.}
\medskip
\centerline{\bf Олимпиада \No 1. Группа Б}
\bigskip


{\bf 1}. Докажите, что уравнение $ C_m^2=3 C_n^4$ имеет бесконечно много решений в натуральных числах.

{\bf 2}. Пусть $\Gamma$ --- полуокружность с центром $O$ и диаметром $AB$.
Точка $M$ лежит на продолжении отрезка $AB$ за  точку $B$.
Секущая, проведенная через $M$, пересекает $\Gamma$ в точках $C$ и $D$ (причем $|MC|>|MD|$).
Описанные окружности $\triangle ACO$ и $\triangle BDO$ вторично пересекаются в точке $K$ ($K$ отлична от $O$).
Докажите, что $\angle OKM=90^\circ$.

{\bf 3}. Найдите максимальное количество ребер в графе с $n$ вершинами таком, что
среди любых пяти вершин этого графа найдутся три попарно не смежных.

{\bf 4}. Последовательность $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ вещественных чисел такова,
что \[\forall k,m\in\mathbb{N} \quad |a_{k+m}-a_k-a_m|<1.\] Докажите,
что
\[ \forall k,m\in\mathbb{N} \quad |{a_k\over k}-{a_m\over m}|<{1\over k}+{1\over m}.\]

\bigskip
\centerline{\bf Олимпиада \No 2. Группа Б}
\bigskip


{\bf 1}. Натуральные числа $a$ и $b$ таковы, что $a^{93}\vdots b^{19}$ и $b^{93}\vdots a^{19}$.
Докажите, что
\[\forall n\in\mathbb{N} \:(n>1)\quad (a^4+b^8)^{F_{n+1}}\vdots (ab)^{F_n}.\]
($\{F_n\}_{n=1}^{\infty}$ --- последовательность чисел Фибоначчи.)

{\bf 2}. В таблице $m\times n$ расставлены вещественные числа, не превосходящие по модулю единицы, причем сумма чисел в каждом столбце равна $0$.
Докажите, что можно переставить числа в столбцах таким образом, чтобы сумма чисел в каждой строке по модулю не превосходила $2$.


{\bf 3}.
Через внутреннюю точку $K$ неравностороннего $\triangle A_1A_2A_3$ проведены прямые $Q_2P_3\parallel A_2A_3$, $Q_3P_1\parallel A_3A_1$ и $Q_1P_2\parallel A_1A_2$, причем точки $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$ лежат на сторонах $A_3A_1$, $A_1A_2$, $A_2A_3$ соответственно, а  точки $P_1$, $P_2$, $P_3$ лежат на сторонах $A_1A_2$, $A_2A_3$, $A_1A_3$ соответственно.
Оказалось, что точки $P_1$, $P_2$, $P_3$, $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$ лежат на окружности с центром $O_1$.
Докажите, что точки $K$, $O_1$ и центр описанной окружности $\triangle A_1A_2A_3$ точка $O$ лежат на одной прямой.

{\bf 4}.
Существует ли многочлен с целыми коэффициентами такой, что его ровно на $2000$ натуральных числах он принимает различные простые значения, а в остальных натуральных числах он принимает положительные составные значения?


\bigskip
\centerline{\bf Олимпиада \No 3. Группа Б}
\bigskip


{\bf 1}. Фигура {\it полуферзь} бьет все клетки, стоящие с ней на одной горизонтали или вертикали, а также в направлении, параллельном одной фиксированной диагонали доски. Каким наименьшим числом полуферзей можно побить все клетки доски $n\times n$?


{\bf 2}. Докажите, что следующие два условия эквивалентны.\\
а) $\forall a\in\mathbb{N}\quad a^{n}-a\vdots n$.\\
б) Для любого простого делителя $p$ числа $n$, $n\not\vdots \,p^2$,
но $n-1\vdots p-1$.

{\bf 3}. Дана окружность $\Gamma$ с центром $O$ и радиусом $r$.
Пусть $AB$ --- данный диаметр $\Gamma$, точка $K$ лежит на отрезке $AO$.
Обозначим через $t$ касательную к $\Gamma$, проведенную в точке $A$.
Для любой проходящей через $K$ хорды $CD$ (отличной от $AB$) обозначим через $P$ и $Q$ точки пересечения прямых $BC$ и $BD$ с прямой $t$.
Докажите, что для любой хорды $CD$ произведение $AP\cdot AQ$ принимает постоянное значение.


{\bf 4}. Пусть $P(x)\in\mathbb{Z}[x]$ и числа $x_1$, $x_2$, $\dots$, $x_n$ (где $n\geqslant 3$) таковы,
что \[\forall x\in\{1,\dots,n-1\} \quad P(x_i)=x_{i+1},\quad P(x_n)=x_i.\]
Докажите, что $x_1=x_3$.


\bigskip
\centerline{\bf Олимпиада \No 4. Группа Б}
\bigskip


{\bf 1}. Во всех клетках бесконечного клетчатого листа расставлены натуральные числа, каждое число встречается ровно один раз.
Может ли сумма чисел в любом прямоугольнике $1\times10$ (горизонтальном или вертикальном) делиться на $101$?


{\bf 2}. Докажите для любых $a$, $b$, $c\in\mathbb{R}$ неравенство 
\[2\sqrt{ab+ac+bc} \leqslant \sqrt{3}\cdot\sqrt[3]{(a+b)(a+c)(b+c)}.\]


{\bf 3}. Точка $M$ -- центр тяжести $\triangle ABC$, точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ --- центр описанных окружностей $\triangle BMC$, $\triangle AMC$, $\triangle AMB$ соответственно.
Докажите, что точка пересечения медиан $\triangle A_1B_1C_1$ является центром описанной окружности $\triangle ABC$.

{\bf 4}. Докажите, что для $\forall n\in\mathbb{N}$ из любого графа можно удалить не более, чем ${1\over n}$ часть всех ребер так, чтобы среди любой $n+1$ вершины оставшегося графа были две не соединенные ребром.




\end{document}
